Đề bài
Quãng đường \[AB\] gồm một đoạn lên dốc dài \[4km\] và một đoạn xuống dốc dài \[5km\]. Một người đi xe đạp từ \[A\] đến \[B\] hết \[40\] phút và đi từ \[B\] về \[A\] hết \[41\] phút [vận tốc lên dốc, xuống dốc lúc đi và về như nhau]. Tính vận tốc lúc lên dốc và lúc xuống dốc.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+] Gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.
+] Biểu diễn các đại lượng đã biết và các đại lượng chưa biết theo ẩn.
+] Dựa vào các dữ liệu của bài toán để lập phương trình hoặc hệ phương trình.
+] Giải phương trình hoặc hệ phương trình vừa lập tìm ẩn.
+] Đối chiếu với điều kiện của ẩn và kết luận theo yêu cầu của đề bài.
Lời giải chi tiết
Gọi vận tốc lúc lên dốc là \[x\left[ {km/h} \right]\] và vận tốc lúc xuống dốc là \[y\left[ {km/h} \right]\] \[\left[ {x;y > 0} \right]\]
Thời gian lên dốc một đoạn \[4km\] là \[\dfrac{4}{x}\left[ h \right]\], thời gian xuống dốc một đoạn \[5km\] là \[\dfrac{5}{y}\] [h]
Thời gian đi từ \[A\] đến \[B\] là tổng thời gian lên dốc đoạn \[4km\] và xuống dốc đoạn \[5km\] là \[40\]phút\[ = \dfrac{2}{3}h\] nên ta có phương trình \[\dfrac{4}{x} + \dfrac{5}{y} = \dfrac{2}{3}\left[ 1 \right]\]
Thời gian lên dốc một đoạn \[5km\] là \[\dfrac{5}{x}\left[ h \right]\], thời gian xuống dốc một đoạn \[4km\] là \[\dfrac{4}{y}\] [h]
Thời gian đi từ \[B\] đến \[A\] là tổng thời gian lên dốc đoạn \[5km\] và xuống dốc đoạn \[4km\] là \[41\]phút\[ = \dfrac{{41}}{{60}}h\] nên ta có phương trình \[\dfrac{5}{x} + \dfrac{4}{y} = \dfrac{{41}}{{60}}\left[ 2 \right]\]
Từ [1] và [2] ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{4}{x} + \dfrac{5}{y} = \dfrac{2}{3}\\\dfrac{5}{x} + \dfrac{4}{y} = \dfrac{{41}}{{60}}\end{array} \right.\]
Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x} = u\\\dfrac{1}{y} = v\end{array} \right.\,\left[ {u;v \ne 0} \right]\] ta có hệ
\[\left\{ \begin{array}{l}4u + 5v = \dfrac{2}{3}\\5u + 4v = \dfrac{{41}}{{60}}\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}12u + 15v = 2\\300u + 240v = 41\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}192u + 240v = 32\\300u + 240v = 41\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}108u = 9\\12u + 15v = 2\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = \dfrac{1}{{12}}\\12.\dfrac{1}{{12}} + 15v = 2\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = \dfrac{1}{{12}}\\v = \dfrac{1}{{15}}\end{array} \right.\left[ {TM} \right]\]
Thay lại cách đặt ta được \[\left\{ \begin{array}{l}u = \dfrac{1}{{12}}\\v = \dfrac{1}{{15}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{{12}}\\\dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{{15}}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 12\\y = 15\end{array} \right.\left[ {TM} \right]\]
Vậy vận tốc khi xuống dốc là \[15km/h\] và vận tốc khi lên dốc là \[12km/h.\]