Đề bài
Hai người thợ cùng xây một bức tường trong \[7\] giờ \[12\] phút thì xong [vôi vữa và gạch có công nhân khác vận chuyển]. Nếu người thứ nhất làm trong \[5\] giờ và người thứ hai làm trong \[6\] giờ thì cả hai xây được \[\displaystyle{3 \over 4}\]bức tường. Hỏi mỗi người làm một mình thì bao lâu xây xong bức tường?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
- Xem toàn bộ công việc là \[1\] [công việc]
- Thực hiện một công việc trong \[a\] [giờ] \[[a>0]\] thì xong việc.
Suy ra trong một giờ thực hiện được \[\dfrac {1}{a}\] công việc
- Cách giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:
Bước \[1\]:Lập hệ phương trình
+ Chọn hai ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng
+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết
+ Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước \[2\]:Giải hệ phương trình nói trên [sử dụngphương pháp đặt ẩn số phụ]
Bước \[3\]:Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận.
Lời giải chi tiết
Đổi\[7\] giờ \[12\] phút \[=\dfrac {36}{5}\] giờ
Gọi thời gian người thứ nhất xây một mình xong bức tường là \[x\] [ giờ], thời gian người thứ hai xây một mình xong bức tường là \[y\] [giờ]
Điều kiện:\[x >\displaystyle {36 \over 5};y > {36 \over 5}\]
Trong \[1\] giờ người thứ nhất xây được \[\displaystyle{1 \over x}\] [bức tường]
Trong \[1\] giờ người thứ hai xây được \[\displaystyle{1 \over y}\] [bức tường]
Vì hai người thợ cùng xây một bức tường trong \[7\] giờ \[12\] phút hay \[\dfrac {36}{5}\] giờ thì xong nên trong \[1\] giờ cả hai người xây được \[\displaystyle 1:{{36} \over 5} = {5 \over {36}}\] [bức tường].
Do đó ta có phương trình:\[\displaystyle{1 \over x} + {1 \over y} = {5 \over {36}}\]
Nếu người thứ nhất làm trong \[5\] giờ và người thứ hai làm trong \[6\] giờ thì cả hai xây được \[\displaystyle{3 \over 4}\]bức tường, khi đó ta có:
\[\displaystyle{5 \over x} + {6 \over y} = {3 \over 4}\]
Ta có hệ phương trình:
\[\left\{ {\matrix{\displaystyle
{{1 \over x} + {1 \over y} = {5 \over {36}}} \cr
\displaystyle{{5 \over x} + {6 \over y} = {3 \over 4}} \cr} } \right.\]
Đặt \[\displaystyle{1 \over x} = a;{1 \over y} = b [a>0;b>0]\] ta có:
\[\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{a + b = \displaystyle{5 \over {36}}} \cr
{5a + 6b =\displaystyle {3 \over 4}} \cr
} } \right.\cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{5a + 5b = \displaystyle{{25} \over {36}}} \cr
{5a + 6b = \displaystyle{3 \over 4}} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = \displaystyle{1 \over {18}}} \cr
{a + b = \displaystyle{5 \over {36}}} \cr
} } \right.\cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = \displaystyle{1 \over {18}}} \cr
{a = \displaystyle{1 \over {12}}} \cr} } \right. \text{[thỏa mãn]} \cr} \]
Suy ra:
\[\left\{ {\matrix{\displaystyle
{{1 \over x} = {1 \over {12}}} \cr
\displaystyle{{1 \over y} = {1 \over {18}}} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 12} \cr
{y = 18} \cr} } \right.\text{[thỏa mãn]}\]
Vậy người thứ nhất làm một mình trong \[12\] giờ thì xây xong bức tường, người thứ hai làm một mình trong \[18\] giờ thì xây xong bức tường.