Đề bài
Cho ABC là tam giác đều cạnh a. Trên đường thẳng At vuông góc với mp[ABC] lấy điểm S với AS = b.
a] Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng [SBC] theo a, b.
b] Hz là đường thẳng đi qua trực tâm H của tam giác SBC và vuông góc với mp[SBC]. Chứng minh rằng khi S di động trên At thì đường thẳng Hz luôn đi qua một điểm cố định.
Lời giải chi tiết
a] Gọi A1là trung điểm của BC thì \[BC \bot mp\left[ {SA{A_1}} \right]\], từ đó \[\left[ {SA{A_1}} \right] \bot \left[ {SBC} \right]\].
Kẻ đường cao AI của tam giác SAA1thì \[AI \bot \left[ {SBC} \right]\]. Từ đó, khoảng cách từ A đến mp[SBC] bằng AI.
Ta có \[AI = {{AS.A{A_1}} \over {S{A_1}}} = {{b.{{a\sqrt 3 } \over 2}} \over {\sqrt {{b^2} + {{3{a^2}} \over 4}} }}\].
Vậy \[AI = {{ab\sqrt 3 } \over {\sqrt {3{{\rm{a}}^2} + 4{b^2}} }}\].
b] Vì H là trực tâm tam giác SBC nên H thuộc SA1. Do \[\left[ {SA{A_1}} \right] \bot \left[ {SBC} \right]\] và \[H{\rm{z}} \bot \left[ {SBC} \right]\] nên Hz nằm trong mp[SAA1]. Gọi K là giao điểm của Hz và AA1, ta có \[KH \bot \left[ {SBC} \right],BH \bot SC\] nên \[KB \bot SC\] [định lí ba đường vuông góc].
Mặt khác \[SA \bot \left[ {ABC} \right],BK \bot SC\] nên \[BK \bot AC\] [định lí ba đường vuông góc]. Như vậy K là trực tâm của tam giác ABC.
Vậy khi S di động trên đường thẳng At vuông góc với mp[ABC] thì đường thẳng Hz đi qua điểm cố định là trực tâm K của tam giác ABC.