Đề bài
Hai đường tròn \[[O]\] và \[[O]\] cắt nhau tại \[A\] và \[B.\] Qua \[A\] vẽ cát tuyến \[CAD\] với hai đường tròn \[[C\in [O],\] \[D \in [O]].\]
\[a]\] Chứng minh rằng khi cát tuyến quay xung quang điểm \[A\] thì \[\widehat {CBD}\] có số đo không đổi.
\[b]\] Từ \[C\] và \[D\] vẽ hai tiếp tuyến với đường tròn. Chứng minh rằng hai tiếp tuyến này hợp với nhau một góc có số đo không đổi khi cát tuyến \[CAD\] quay xung quanh điểm \[A.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ta sử dụng kiến thức:
+] Trong một đường tròn, số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.
+] Trong một đường tròn, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
Lời giải chi tiết
\[a]\] Ta có:
\[\widehat{ACB}=\dfrac{1}{2}sđ \overparen{AnB}\] [góc nội tiếp trong đường tròn \[[O]]\]
\[\widehat{ADB}=\dfrac{1}{2}sđ \overparen{AmB}\][góc nội tiếp trong đường tròn \[[O']]\]
Vì điểm \[A, B\] cố định nên \[sđ \overparen{AnB},\] \[sđ \overparen{AmB}\] không thay đổi
Vì vậy \[\widehat {ACB},\widehat {ADB}\] có số đo không đổi.
Ta có:\[\widehat {CBD} = {180^o} - \left[ {\widehat {ACB} + \widehat {ADB}} \right]\] không đổi do\[\widehat {ACB},\widehat {ADB}\] có số đo không đổi.
Vậy số đo \[\widehat {CBD}\] luôn không đổi khi cát tuyến \[CAD\] thay đổi.
\[b]\] Trong \[[O]\] ta có
\[\widehat {ABC} = \widehat {MCA}\] [hệ quả góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung] \[[1]\]
Trong \[[O]\] ta có: \[\widehat {ABD} = \widehat {MDA}\][hệ quả góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung] \[[2]\]
Từ \[[1]\] và \[[2]\] suy ra: \[\widehat {MCA} + \widehat {MDA} = \widehat {ABC} + \widehat {ABD}\]\[ = \widehat {CBD}\]
Hay \[\widehat {MCD} + \widehat {MDC} = \widehat {CBD}\] [không đổi do câu a]
Trong \[MCD\] ta có: \[\widehat {CMD} = {180^o} - \left[ {\widehat {MCD} + \widehat {MDC}} \right]\]
\[={180^o} - \widehat {CBD}\]
Nên \[\widehat {CMD} \] không đổi do \[\widehat {CBD}\] không đổi.
Vậy\[\widehat {CMD} \] không đổi.