Đề bài
Giải các phương trình
a] \[2\sin {x \over 2}{\cos ^2}x - 2\sin {x \over 2}{\sin ^2}x = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x\]
b] \[3\cos x + 4\sin x = 5\]
c] \[\sin x + \cos x = 1 + \sin x. \cos x\]
d] \[\sqrt {1 - \cos x} = \sin x[x \in \left[ {\pi ,3\pi } \right]]\]
e] \[[\cos{x \over 4} - 3\sin x]\sin x + [1 + \sin{x \over 4} - 3\cos x]\cos x\]\[ = 0\]
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Đưa phương trình về dạng tích, giải phương trình lượng giác cơ bản.
b] Chia cả hai vế cho\[\sqrt {{a^2} + {b^2}} \].
c]Đưa phương trình về dạng tích, giải phương trình lượng giác cơ bản.
d] Bình phương hai vế, đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.
e] Phá ngoặc và nhóm các hạng tử phù hợp.
Lời giải chi tiết
a]
\[\eqalign{
& 2\sin {x \over 2}{\cos ^2}x - 2\sin {x \over 2}{\sin ^2}x = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x \cr
& \Leftrightarrow 2\sin {x \over 2}[{\cos ^2}x - {\sin ^2}x] = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x \cr
& \Leftrightarrow 2\sin {x \over 2}.cos2x = \cos 2x\cr& \Leftrightarrow \cos 2x[2\sin {x \over 2} - 1] = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\cos 2x = 0 \hfill \cr
\sin {x \over 2} = {1 \over 2} = \sin {\pi \over 6} \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
2x = {\pi \over 2} + k\pi \hfill \cr
\left[ \matrix{
{x \over 2} = {\pi \over 6} + k2\pi \hfill \cr
{x \over 2} = \pi - {\pi \over 6} + k2\pi \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {\pi \over 4} + \frac{k\pi}{2} \hfill \cr
x = {\pi \over 3} + k4\pi \hfill \cr
x = {{5\pi } \over 3} + k4\pi \hfill \cr} \right.[k \in\mathbb Z] \cr} \]
b] Ta có:
\[\eqalign{
& 3cos{\rm{ }}x + 4sin{\rm{ }}x = 5 \cr
& \Leftrightarrow {3 \over 5}\cos x + {4 \over 5}\sin x = 1 \cr
& \Leftrightarrow \cos x\cos \varphi + \sin x\sin \varphi = 1\cr&[\text { với }cos\varphi = {3 \over 5};\sin \varphi = {4 \over 5}] \cr
& \Leftrightarrow \cos [x - \varphi ] = 1 \cr
& \Leftrightarrow x - \varphi = k2\pi \,\,\,[k \in\mathbb Z] \cr
& \Leftrightarrow x = \varphi + k2\pi \,\,\,[k \in\mathbb Z]\cr} \]
\[c] \,\,sin x + cosx = 1 + sinx. cosx\]
\[ sin x sin x. cosx + cosx 1= 0\]
\[ sin x [ 1 cosx] [1 cosx] = 0\]
\[\eqalign{
& \Leftrightarrow [1 - \cos x][\sin x - 1] = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{\mathop{\rm cosx}\nolimits} = 1 \hfill \cr
sinx = 1 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = k2\pi \hfill \cr
x = {\pi \over 2} + k2\pi \hfill \cr} \right.[k \in \mathbb Z] \cr} \]
d] Điều kiện \[\sin x 0\]. Khi đó:
\[\eqalign{
& \sqrt {1 - \cos x} = \sin x \cr
& \Leftrightarrow 1-\cos x = {\sin ^2}x \cr
& \Leftrightarrow 1 - {\sin ^2}x - \cos x = 0 \cr
& \Leftrightarrow {\cos ^2}x - \cos x = 0 \cr
& \Leftrightarrow \cos x[cosx - 1] = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\cos x = 0 \hfill \cr
\cos x = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {\pi \over 2} + k\pi \hfill \cr
x = k2\pi \hfill \cr} \right.;k \in\mathbb Z \cr}\]
\[\begin{array}{l}
\pi \le \frac{\pi }{2} + k\pi \le 3\pi \\ \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le k \le \frac{5}{2} \\ \mathop \Rightarrow \limits^{k \in Z} \left[ \begin{array}{l}
k = 1 \Rightarrow x = \frac{{3\pi }}{2}\,\,\left[ {ktm\,\,\sin x \ge 0} \right]\\
k = 2\,\,\left[ {tm} \right]
\end{array} \right.\\
\pi \le k2\pi \le 3\pi \\ \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le k \le \frac{3}{2}\mathop \Rightarrow \limits^{k \in Z} k = 1 \Rightarrow x = 2\pi \,\,\left[ {tm} \right]
\end{array}\]
Vì\[\sin \frac{{5x}}{4} \le 1;\,\,\cos x \le 1 \Rightarrow \sin \frac{{5x}}{4} + \cos x \le 2 < 3 \Rightarrow \] phương trình trên vô nghiệm.