Đề bài
Tìm tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng:\[{\Delta _1}: 5x + 3y 3 = 0\] và\[{\Delta _2}: 5x + 3y + 7 = 0.\]
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng \[d\left[ {M,\Delta } \right] = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\]
Lời giải chi tiết
Gọi \[M[x; y]\] là một điểm bất kì trong mặt phẳng, ta có:
\[d[M,{\Delta _1}] = {{|5x + 3y - 3|} \over {\sqrt {{5^2} + {3^2}} }} = {{|5x + 3y - 3|} \over {\sqrt {34} }}\]
\[d[M,{\Delta _2}] = {{|5x + 3y + 7|} \over {\sqrt {{5^2} + {3^2}} }} = {{|5x + 3y + 7|} \over {\sqrt {34} }}\]
Điểm \[M\] cách đều hai đường thẳng \[{\Delta _1},{\Delta _2}\]nên:
\[\eqalign{
& {{|5x + 3y - 3|} \over {\sqrt {34} }} = {{|5x + 3y + 7|} \over {\sqrt {34} }} \cr
& \Leftrightarrow |5x + 3y - 3| = |5x + 3y + 7| \cr} \]
Ta xét hai trường hợp:
[*] \[5x + 3y 3 = - [5x + 3y + 7]\]
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 5x + 3y - 3 = - 5x - 3y - 7\\
\Leftrightarrow 10x + 6y + 4 = 0\\
\Leftrightarrow 5x + 3y + 2 = 0
\end{array}\]
[**] \[5x + 3y 3 = 5x + 3y + 7\]
\[ \Leftrightarrow 0x + 0y - 10 = 0\] [vô nghiệm]
Vậy tập hợp các điểm \[M\] cách đều hai đường thẳng \[{\Delta _1},{\Delta _2}\] là đường thẳng \[Δ: 5x + 3y + 2 = 0\]
Dễ thấy \[Δ\] song song với \[{\Delta _1},{\Delta _2}\] và hai đường thẳng \[{\Delta _1},{\Delta _2}\] nằm về hai phía đối với \[Δ\].