Đề bài
Cho tam giác \[ABC\] vuông cân tại \[A.\] Trên cạnh \[BC\] lấy các điểm \[H,\, G\] sao cho \[BH = HG = GC.\] Qua \[H\] và \[G\] kẻ các đường vuông góc với \[BC,\] chúng cắt \[AB\] và \[AC\] theo thứ tự ở \[E\] và \[F.\] Tứ giác \[EFGH\] là hình gì ? Vì sao ?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Vận dụng kiến thức :
- Tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.
- Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.
- Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.
Lời giải chi tiết
Vì \[ ABC\] vuông cân tại \[A\] \[ \Rightarrow \widehat B = \widehat C = {45^0}\]
Vì \[ BHE\] vuông tại \[H\] có \[\widehat B = {45^0}\]
\[ BHE\] vuông cân tại \[H\] nên \[HB = HE\]
Vì \[ CGF\] vuông tại \[G\] có \[\widehat C = {45^0}\]
\[ CGF\] vuông cân tại \[G\] nên \[GC = GF\]
Ta có: \[BH = HG = GC\] [gt]
Suy ra: \[HE = HG = GF\]
Ta có \[EH // GF\] [hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng BC]
Nên tứ giác \[HEFG\] là hình bình hành [vì có một cặp cạnh đối song song bằng nhau]
Lại có \[\widehat {EHG} = {90^0}\] do đó \[HEFG\] là hình chữ nhật
Mà \[EH = HG\] [chứng minh trên]
Vậy \[HEFG\] là hình vuông.