Đề bài
Gọi \[AM, BN, CL\] là ba đường cao của tam giác \[ABC\]. Chứng minh:
a] \[ANL\] đồng dạng \[ABC\];
b] \[AN.BL.CM\] \[= AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng kiến thức về hai tam giác đồng dạng và tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.
Lời giải chi tiết
a]Xét hai tam giác \[BNA\] và \[CLA\], ta có:
\[\widehat {BNA} = \widehat {CLA} = 90^\circ \]
\[\widehat A\] chung
Suy ra \[BNA\] đồng dạng \[CLA\] [g.g]
Suy ra: \[\displaystyle {{AL} \over {AN}} = {{AC} \over {AB}} \Rightarrow {{AL} \over {AC}} = {{AN} \over {AB}}\]
Xét hai tam giác \[ABC\] và \[ANL\], ta có:
\[\displaystyle{{AL} \over {AC}} = {{AN} \over {AB}}\]
\[\widehat A\] chung
Suy ra \[ABC\] đồng dạng \[ANL\] [c.g.c]
b] \[ABN\] vuông tại \[N\] nên \[AN = AB.\cos \widehat B\,[1]\]
\[BCL\] vuông tại \[L\] nên \[BL = BC.\cos \widehat B\,[2]\]
\[ACM\] vuông tại \[M\] nên \[CM = AC.\cos \widehat C\,[3]\]
Từ [1], [2] và [3] suy ra:
\[AN.BL.CM \]\[= AB.BC.CA.\cos \widehat A\cos \widehat B\cos \widehat C.\]