- LG a
- LG b
Với giá trị nào của \[x\] thì giá trị của mỗi biểu thức sau bằng \[0\] :
LG a
\[\displaystyle {x \over {{x^2} - 4}} + {3 \over {{{\left[ {x + 2} \right]}^2}}}\]
Phương pháp giải:
- Biến đổi phân thức về dạng đơn giản.
- Cho giá trị biểu thức bằng \[0\]; giải rồi tìm giá trị của \[x\].
Lời giải chi tiết:
Điều kiện:
\[\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 4 \ne 0\\
{\left[ {x + 2} \right]^2} \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ {x - 2} \right]\left[ {x + 2} \right] \ne 0\\
x + 2 \ne 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x - 2 \ne 0\\
x + 2 \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ne 2\\
x \ne - 2
\end{array} \right.
\end{array}\]
\[\Leftrightarrow x\ne \pm 2\]
Ta có:
\[\displaystyle{x \over {{x^2} - 4}} + {3 \over {{{\left[ {x + 2} \right]}^2}}}\]\[\displaystyle = {x \over {\left[ {x + 2} \right]\left[ {x - 2} \right]}} + {3 \over {{{\left[ {x + 2} \right]}^2}}}\]\[\displaystyle = {{x\left[ {x + 2} \right] + 3\left[ {x - 2} \right]} \over {\left[ {x - 2} \right]{{\left[ {x + 2} \right]}^2}}}\]
\[\displaystyle = {{{x^2} + 2x + 3x - 6} \over {\left[ {x - 2} \right]{{\left[ {x + 2} \right]}^2}}}\]
\[ = \dfrac{{{x^2} + 5x - 6}}{{\left[ {x - 2} \right]{{\left[ {x + 2} \right]}^2}}}\]
\[\displaystyle = {{{x^2} - x + 6x - 6} \over {\left[ {x - 2} \right]{{\left[ {x + 2} \right]}^2}}}\]\[\displaystyle = {{x\left[ {x - 1} \right] + 6\left[ {x - 1} \right]} \over {\left[ {x - 2} \right]{{\left[ {x + 2} \right]}^2}}} \]\[\displaystyle= {{\left[ {x - 1} \right]\left[ {x + 6} \right]} \over {\left[ {x - 2} \right]{{\left[ {x + 2} \right]}^2}}}\]
Biểu thức bằng \[0\] khi \[\left[ {x - 1} \right]\left[ {x + 6} \right] = 0\]
Ta có: \[\left[ {x - 1} \right]\left[ {x + 6} \right] = 0 \]
\[\Rightarrow x - 1=0 \] hoặc \[x +6=0\]
\[\Rightarrow x = 1 \] [thỏa mãn] hoặc \[x = - 6\][thỏa mãn]
Vậy với \[x = 1\] hoặc \[x = - 6\] thì giá trị của biểu thức bằng \[0\].
LG b
\[\displaystyle{1 \over {{x^2} + x + 1}} + x - 1\]
Phương pháp giải:
- Biến đổi phân thức về dạng đơn giản.
- Cho giá trị biểu thức bằng \[0\]; giải rồi tìm giá trị của \[x\].
Lời giải chi tiết:
Điều kiện:\[{x^2} + x + 1 \ne 0.\]
Ta có:\[{x^2} + x + 1 = {x^2} + 2.x.\displaystyle{1 \over 2} + {1 \over 4} + {3 \over 4}\]\[\displaystyle = {\left[ {x + {1 \over 2}} \right]^2} + {3 \over 4} \ne 0\] với mọi \[x\].
Do đó: \[\displaystyle{1 \over {{x^2} + x + 1}} + x - 1\]\[\displaystyle = {{1 + \left[ {x - 1} \right]\left[ {{x^2} + x + 1} \right]} \over {{x^2} + x + 1}}\]\[\displaystyle = {{1 + {x^3} - 1} \over {{x^2} + x + 1}} = {{{x^3}} \over {{x^2} + x + 1}}\]
Biểu thức bằng \[0\] khi \[{x^3} = 0\] \[ \Rightarrow x = 0\]
Vậy với \[x = 0\] thì giá trị của biểu thức bằng \[0\].