Đề bài
Cho hai đường tròn \[[O]\] và \[[O]\] cắt nhau tại \[A\] và \[B.\] Dây \[AC\] của đường tròn \[[O]\] tiếp xúc với đường tròn \[[O]\] tại \[A.\] Dây \[AD\] của đường tròn \[[O]\] tiếp xúc với đường tròn \[[O]\] tại \[A.\] Gọi \[K\] là điểm đối xứng với \[A\] qua trung điểm \[I\] của \[OO,\] \[E\] là điểm đối xứng với \[A\] qua \[B.\] Chứng minh rằng:
\[a]\] \[AB KB;\]
\[b]\] Bốn điểm \[A, C, E, D\] nằm trên cùng một đường tròn.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức:
+] Nếu hai đường tròn cắt nhau thì hai giao điểm đối xứng với nhau qua đường nối tâm, tức là đường nối tâm là trung trực của dây chung.
+] Sử dụng tính chất đường trung trực: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.
+] Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua \[O\] nếu \[O\] là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó
+] Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành.
+] Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
+] Để chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn, ta chứng minh chúng cùng cách đều một điểm.
Lời giải chi tiết
\[a]\] Gọi \[H\] là giao điểm của \[AB\] và \[OO.\]
Vì hai đường tròn \[[O]\] và \[[O]\] cắt nhau tại \[A\] và \[B\] nên \[OO\] là đường trung trực của \[AB\]
Hay \[OO AB\] tại \[H\] và \[HA = HB\]
Lại có \[I\] là trung điểm của \[OO\] nên \[IH AB\;\; [1]\]
Trong tam giác \[ABK,\] ta có:
\[HA = HB\] [chứng minh trên]
\[IA = IK\] [tính chất đối xứng tâm]
Suy ra \[IH\] là đường trung bình của tam giác \[ABK\]
Suy ra \[IH // BK \;\; [2]\]
Từ \[[1]\] và \[[2]\] suy ra: \[AB KB\]
\[b]\] Vì \[AB KB\] nên \[AE KB\]
Lại có: \[AB = BE\] [ tính chất đối xứng tâm]
Suy ra KB là đường trung trực của AE
Do đó: \[KA = KE\] [ tính chất đường trung trực] \[[3]\]
Ta có: \[IO = IO\;\; [gt]\]
\[IA = IK \] [ chứng minh trên]
Tứ giác \[AOKO\] có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình bình hành.
Suy ra: \[OK // OA\] và \[OA // OK\]
\[CA OA \] [vì \[CA\] là tiếp tuyến của đường tròn \[[O]\]]
\[OK // OA\] [ chứng minh trên]
Suy ra: \[OK AC\]
Xét đường tròn [O] có \[OK AC\] mà OK là 1 phần đường kính và AC là dây cung nên OK đi qua trung điểm của AC.
Khi đó \[OK\] là đường trung trực của \[AC\]
Suy ra: \[KA = KC\] [ tính chất đường trung trực] \[[4]\]
\[DA OA\] [ vì \[DA\] là tiếp tuyến của đường tròn \[[O]\]]
\[OK // OA\] [ chứng minh trên]
Suy ra: \[OK DA\]
Xét đường tròn [O'] có\[O'K DA\]mà O'K là 1 phần đường kính và AD là dây cung nên O'K đi qua trung điểm của AD.
Khi đó \[OK\] là đường trung trực của \[AD\]
Suy ra: \[KA = KD\] [ tính chất đường trung trực] \[[5]\]
Từ \[[3],\] \[[4]\] và \[[5]\] suy ra: \[KA = KC = KE = KD\]
Vậy bốn điểm \[A, C, E, D\] cùng nằm trên một đường tròn.