Đề bài
Cho tam giác \[ABC,\] các đường trung tuyến \[AD, BE, CF\] cắt nhau ở \[G.\] Gọi \[H\] là điểm đối xứng với \[G\] qua \[D, I\] là điểm đối xứng với \[G\] qua \[E, K\] là điểm đối xứng với \[G\] qua \[F.\] Tìm các điểm đối xứng với \[A,\] với \[B,\] với \[C\] qua \[G.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức:
+] Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua \[O\] nếu \[O\] là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó.
+] Ba đường trung tuyến trong tam giác cùng đi qua một điểm, điểm này cách mỗi đỉnh một khoảng bằng \[\dfrac{2}{3}\] độ dài đường trung tuyến ứng với đỉnh đó.
Lời giải chi tiết
+] Tam giác ABC có ba đường trung tuyến AD, BE, CF cắt nhau tại G nên G là trọng tâm tam giác ABC.
+] Ta có: \[GD = DH\] [tính chất đối xứng tâm]
\[ GH = 2GD \;\;[1]\]
\[GA = 2GD\] [ tính chất đường trung tuyến của tam giác] \[[2]\]
Từ \[[1]\] và \[[2]\] suy ra: \[GA = GH\]
Nên điểm đối xứng với điểm \[A\] qua \[G\] là điểm \[H\]
+] \[GE = EI\] [tính chất đối xứng tâm]
\[ GI = 2GE\;\; [3]\]
\[GB = 2GE \] [tính chất đường trung tuyến của tam giác] \[[4]\]
Từ \[[3]\] và \[[4]\] suy ra: \[GB = GI\]
Nên điểm đối xứng với điểm \[B\] qua \[G\] là điểm \[I\]
+] \[GF = FK\] [tính chất đối xứng tâm]
\[ GK = 2GF\;\; [5]\]
\[GC = 2GF\] [tính chất đường trung tuyến của tam giác] \[[6]\]
Từ \[[5]\] và \[[6]\] suy ra: \[GC = GK\]
Nên điểm đối xứng với điểm \[C\] qua \[G\] là điểm \[K\]