- Bài III.5
- Bài III.6
- Bài III.7
- Bài III.8
Bài III.5
Cho tam giác \[ABC\] cân tại \[C.\] Kẻ các đường cao \[{\rm{A}}{{\rm{A}}_1}\]và \[B{B_1}\]của tam giác đó. Hai đường cao này cắt nhau tại \[M.\] Chứng minh rằng đường thẳng \[MC\] là đường trung trực của đoạn thẳng \[AB.\]
Phương pháp giải:
Sử dụng:
+] Ba đường cao của tam giác động quy tại một điểm. Điểm đó là trực tâm tam giác.
+] Trong tam giác cân, đường cao xuất phát từ đỉnh cũng là đường trung trực của tam giác.
Lời giải chi tiết:
Xét tam giác \[ABC\] có hai đường cao \[AA_1\] và \[BB_1\] cắt nhau tại \[M\] nên \[M\] là trực tâm tam giác \[ABC.\] Do đó, \[CM\] là đường cao của tam giác \[ABC\][vì trong một tam giác ba đường cao đồng quy]
Lại có tam giác \[ABC\] cân tại \[C\] nên đường cao \[CM\] cũng là đường trung trực của tam giác.
Vậy \[MC\] là đường trung trực của đoạn thẳng \[AB.\]
Bài III.6
Cho tam giác \[ABC\] có \[Â = 130°.\] Gọi \[C, B\] là các điểm sao cho \[AB\] là đường trung trực của \[CC\] và \[AC\] là đường trung trực của \[BB.\] Hai đường thẳng \[CB\] và \[BC\] cắt nhau tại \[A.\] Hãy tìm bên trong tam giác \[ABC\] điểm cách đều ba cạnh của tam giác đó.
Phương pháp giải:
Sử dụng:
+] Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.
+] Trong tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy cũng là đường phân giác của tam giác.
+] Trong một tam giác, ba đường phân giác giao nhau tại một điểm. Điểm đó cách đều ba cạnh của tam giác.
Lời giải chi tiết:
Xét tam giác \[ABC\]
+] Vì \[AC\] là đường trung trực của \[BB\] nên \[CB=CB'\] [tính chất đường trung trực]
Suy ra tam giác \[CBB'\] cân tại \[C\] có \[AC\] là đường trung trực nên \[AC\] cũng là đường phân giác của góc \[BCB'\]
+] Vì\[AB\]là đường trung trực của\[CC\]nên \[BC=BC'\] [tính chất đường trung trực]
Suy ra tam giác \[BCC'\] cân tại \[B\] có \[AB\] là đường trung trực nên \[AB\] cũng là đường phân giác của góc \[CBC'\]
Suy ra \[AB, AC\] lần lượt là đường phân giác của các góc \[ABC\] và góc \[ACB.\] Vậy ba đường phân giác của tam giác \[ABC\] đồng quy tại \[A,\] hay \[A\] là điểm nằm trong tam giác \[ABC\] và cách đều ba cạnh của tam giác này.
Bài III.7
Dựng các hình vuông \[ABDE\] và \[ACFG\] bên ngoài tam giác nhọn \[ABC\] cho trước.
a]Gọi \[H\] là điểm thuộc đường thẳng \[BC\] sao cho \[{\rm{A}}H \bot BC\]. Gọi \[I, J \] là các điểm thuộc đường thẳng \[AH\] sao cho \[EI \bot AH\] và \[GJ \bot AH\]. Chứng minh
\[ABH = EAI, ACH = GAJ\]
Từ đó suy ra đường thẳng \[AH\] cắt \[EG\] tại trung điểm \[K\] của \[EG\] [tức là \[AK\] là trung tuyến của tam giác \[AEG]\]
b] Gọi \[L\] là điểm thuộc đường thẳng \[AK\] sao cho \[K\] là trung điểm của \[AL.\] Chứng minh \[AL = BC.\]
c] Chứng minh \[ABL = BDC.\] Từ đó suy ra \[CD\] là một đường cao của tam giác \[BCL.\]
d] Chứng minh rằng các đường thẳng \[AH, BF, CD\] đồng quy.
Phương pháp giải:
Sử dụng:
+] Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông
+] Ba đường cao của một tam giác đồng quy tại 1 điểm.
Lời giải chi tiết:
a]+] Xét tam giác EIA vuông tại I nên :\[\widehat {IEA} + \widehat {IAE} = {90^0}\] [tính chất tam giác vuông]
Lại có:\[\widehat {IAE} + \widehat {EAB} + \widehat {BAH} = {180^0}\] [1]
\[ \Rightarrow \widehat {IAE} + \widehat {BAH} = {180^0} - \widehat {EAB} \]\[= {180^0} - {90^0} = {90^0}\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra\[\widehat {BAH} = \widehat {A{\rm{E}}I}\][cùng phụ với góc \[EAI]\]
Hai tam giác vuông \[ABH\] và \[EAI\]có \[AB = EA,\] \[\widehat {BAH} = \widehat {A{\rm{E}}I}\][chứng minh trên] nên\[ABH = EAI\,\] [cạnh huyền-góc nhọn]
Suy ra \[AH=EI\][hai cạnh tương ứng]
Tương tự hai tam giác vuông \[ACH\] và \[GAJ\] bằng nhau.
Suy ra\[AH=GJ\][hai cạnh tương ứng]
Suy ra \[EI = AH = GJ.\]
Mặt khác, \[\widehat {JKG} = \widehat {IKE}\] [đối đỉnh], do đó \[EKI = GKJ\] [cgv-gn]
Từ đó ta có \[EK = GK,\] hay \[K\] là trung điểm của \[EG.\] Vậy \[AK\] là trung tuyến của tam giác \[AEG.\]
b] Theo a] \[EKI = GKJ\] nên \[KI = KJ.\] Mặt khác, theo giả thiết \[K\] là trung điểm của \[AL\] nên \[AK = LK. \] Suy ra, \[KA KI = KL KJ\] hay \[IA= JL.\]
Ta có: \[ACH= GAJ\] [ theo a] nên \[HC = AJ\]
Lại có \[ABH = EAI\] [theo a] nên \[BH = AI.\]
Ta có:
\[AL = AJ + JL = AJ + AI \]\[= HC + HB = BC\]
c] Hai tam giác \[ALB\] và \[BCD\]có
\[AL = BC\] [theo câu b]
\[ AB = BD\][ vì ABDE là hình vuông]
\[\widehat {BAL} = 90^\circ + \widehat {E{\rm{A}}L} \]\[= 90^\circ + \widehat {ABC} = \widehat {DBC}\]
Nên\[ABL = BCD\,[c-g-c]\]
Suy ra \[\widehat {ALB} = \widehat {BC{\rm{D}}}\].
Mặt khác ta có \[\widehat {ALB} + \widehat {LBH} = 90^\circ \]nên \[\widehat {BC{\rm{D}}} + \widehat {LBH} = 90^\circ \].
Suy ra \[LB \bot C{\rm{D}}\], tức \[CD\] là một đường cao của tam giác \[LBC.\]
d] Lập luận tương tự câu c], ta có \[BF\] là một đường cao của tam giác \[LBC.\]
Theo câu c] thì\[CD\] là một đường cao của tam giác \[LBC.\]
Vậy ba đường thẳng \[AH, BF, CD\] là ba đường cao của tam giác \[LBC\] nên chúng đồng quy.
Bài III.8
Cho tam giác \[ABC.\]
a] Qua trung điểm \[D\] của cạnh \[BC,\] kẻ đường thẳng song song với \[AB,\] nó cắt cạnh \[AC\] tại \[E.\] Qua \[E\] kẻ đường thẳng song song với \[BC,\] nó cắt \[AB\] tại \[F.\] Chứng minh \[CDE=EFA.\] Từ đó suy ra \[E \] là trung điểm của cạnh \[AC.\]
b] Chứng minh rằng đường thẳng đi qua các trung điểm hai cạnh của một tam giác thì song song với cạnh thứ ba của tam giác đó.
c] Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\] là trực tâm của tam giác có ba đỉnh là trung điểm ba cạnh của tam giác \[ABC.\]
Phương pháp giải:
Sử dụng:
+] Các trường hợp bằng nhau của tam giác
+] Tính chất hai đường thẳng song song
+] Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác đó
Lời giải chi tiết:
a] Xét\[BDF\] và \[EFD\] có:
+]\[\widehat {EDF} = \widehat {DFB}\] [so le trong, \[DE//AB]\]
+] \[DF\] cạnh chung
+] \[\widehat {EFD} = \widehat {FDB}\] [so le trong, \[EF//BC]\]
Ta có \[BDF = EFD [g.c.g]\]
Suy ra \[BD = EF.\] Theo giả thiết, \[D\] là trung điểm của \[BC\] nên \[CD = DB = EF.\]
Hai tam giác \[CDE \] và \[EFA\] có:
+] \[\widehat {C{\rm{D}}E} = \widehat {CBA} = \widehat {{\rm{EFA}}}\] [các góc đồng vị]
+] \[CD = EF\]
+] \[\widehat {EC{\rm{D}}} = \widehat {{\rm{AEF}}}\][các góc đồng vị]
Suy ra \[CDE = EFA [g.c.g]\]
Do đó, \[CE = EA.\]
b] Ta có \[D\] là trung điểm của \[BC,\]\[E \] là trung điểm của \[AC.\] Theo câu a] đường thẳng qua \[D,\] song song với \[AB\] phải cắt \[AC\] tại trung điểm của \[AC\] nên đường thẳng đó phải đi qua \[E,\] hay \[DE // AB.\]
c] Gọi \[D, E, F\] theo thứ tự là trung điểm của \[BC, CA, AB.\] Đường trung trực của \[BC\] phải vuông góc với \[EF\] [vì [\[EF // BC],\] hay nó là một đường cao của tam giác \[DEF.\] Suy ra ba đường trung trực của tam giác \[ABC\] là ba đường cao của tam giác \[DEF.\] Do đó tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\] [giao điểm của ba đường trung trực của tam giác \[ABC]\] là trực tâm của tam giác \[DEF.\]