Đề bài
Chứng minh rằng khi \[a\] và \[c\] trái dấu thì phương trình trùng phương \[a{x^4} + b{x^2} + c = 0\]chỉ có hai nghiệm và chúng là hai số đối nhau.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Giải phương trình trùng phương \[a{x^4} + {\rm{ }}b{x^2} + {\rm{ }}c{\rm{ }} = {\rm{ }}0{\rm{ }}\left[ {a{\rm{ }} \ne {\rm{ }}0} \right]\]
+ Đặt \[{x^2} = {\rm{ }}t,{\rm{ }}t{\rm{ }} \ge {\rm{ }}0\].
+ Giải phương trình \[a{t^2} + {\rm{ }}bt{\rm{ }} + {\rm{ }}c{\rm{ }} = {\rm{ }}0\].
+ Với mỗi giá trị tìm được của \[t\] [thỏa mãn \[ t \ge 0\]], lại giải phương trình \[{x^2} = {\rm{ }}t\].
Lời giải chi tiết
Phương trình \[a{x^4} + b{x^2} + c = 0\]
Đặt\[{x^2} = t \Rightarrow t \ge 0\]
Ta có phương trình ẩn \[t\]: \[a{t^2} + bt + c = 0\]
Vì \[a\] và \[c\] trái dấu suy ra \[ac < 0.\]
Phương trình có hai nghiệm phân biệt \[t_1\]và \[t_2\].
Theo hệ thức Vi-ét ta có: \[\displaystyle {t_1}.{t_2} = {c \over a} < 0\]nên \[t_1\]và \[t_2\]trái dấu.
Giả sử \[t_1< 0; t_2> 0\].
Vì \[t 0 t_1< 0\] [loại].
\[\Rightarrow {x^2} = {t_2} \Rightarrow x = \pm \sqrt {{t_2}} \].
Vậy phương trình trùng phương \[a{x^4} + b{x^2} + c = 0\]có hệ số \[a\] và \[c\] trái dấu thì phương trình trùng phương có \[2\] nghiệm đối nhau.